Agora que ganhámos alguma familiaridades com poliedros regulares, vamos determinar alguns dados numéricos sobre eles. Conhecendo o número, \(F\), de faces de um poliedro regular, como obter o número de arestas, \(A\), e o número de vértices, \(V\)? Comecemos pelo cubo, que tem 6 faces \((F=6\)).

Como cada face tem 4 arestas, isso significa que \( 6 \times 4 = 24 \) é o número de arestas?
Não. Mas cada aresta pertence a duas faces diferentes, portanto

\( A = \frac{6 \times 4}{2} = 12 = \frac{F \times \text{ nº de arestas por face} }{2} \)

Como cada face tem 4 vértices (e o número de vértices é igual ao número de arestas, por se tratar de um polígono regular), isso significa que \( 6 \times 4 = 24 \) é o número de vértices?
Não. Mas cada vértice pertence a três faces diferentes, portanto

\( V = \frac{6 \times 4}{3} = 8 = \frac{F \times \text{ nº de arestas por face} }{ \text{ nº de faces que se encontram em cada vértice} } \)

Este raciocínio pode ser aplicado a todos os poliedros regulares, concluindo-se assim que:

num poliedro regular, se designarmos por \(n\) o número de arestas por face, então:

  • \(A = \frac{F \times n}{2} \)
  • \(V = \frac{F \times n}{k} \), onde \(k\) é o número de faces que se encontram em cada vértice

Sabendo que o tetraedro tem 4 faces (tetra=4), o cubo 6, o octaedro 8 (octa=8), o dodecaedro 12 (dodeca=12) e o icosaedro 20 (icosa=20), acabe de preencher a seguinte tabela:

Poliedro Arestas por face Faces por vértice Faces (F) Arestas (A) Vértices (V) Planificação
3 3 4 \(\frac{4 \times 3}{2} = 6 \) \(\frac{4 \times 3}{3} = 4 \)
4 3 6
3 4 8
5 3 12
3 5 20