Água

Areia

Avançar

Recuar

\small{\mbox{Consideremos dois pontos }}\definecolor{azul}{rgb}{0,0.6,0.8} \textcolor{laranja}{A} \mbox{ e } \definecolor{laranja}{rgb}{1,0.6,0}  \textcolor{azul}{B} \mbox{ correspondentes às posições do nadador-salvador} 
\ \small\mbox{e do afogado, respectivamente.}
\ \small\mbox{\textbf{Queremos mostrar } que o percurso que permite ao nadador-salvador chegar}
\ \small\mbox{mais rapidamente ao afogado é o percurso A-C-B tal que: } \ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{\;\;\frac{\mbox{ } \overline {DC}\mbox{ }}{\overline {AC}}\;\;}{\frac{\mbox{ }\overline{EC}\mbox{ }}{\overline{BC}}}=\frac{\mbox{vel corrida}}{\mbox{vel natação}}.
\
\
\scriptsize \mbox{(Se conhecer funções trigonométricas, note que esta igualdade equivale a }{\frac{\mbox{Sen }\beta}{\mbox{Sen }\alpha}}=\frac{\mbox{vel corrida}}{\mbox{vel natação}}.)

\small\mbox{Para tal, consideremos um outro \textcolor{Red}{trajecto} A-F-B, com \textcolor{Red}{F} um qualquer}
\ \small\mbox{ponto do segmento DE, distinto de \definecolor{purpura}{rgb}{0.5,0,0.5}\textcolor{purpura}{C}. Iremos mostar que o nadador-salvador}
\ \small \mbox{demora mais tempo a percorrer este trajecto do que o trajecto A-C-B.}

\textcolor{Red}{\mbox{F}}

\small\mbox{Comecemos por supor que \textcolor{Red}{F} está no segmento de recta CE.}
\ \small\mbox{Seja G a projecção ortogonal de \textcolor{Red}{F} sobre o segmento de recta BC. }

\small \mbox{E sejam r a perpendicular a AC por \textcolor{purpura}{C}, H a projecção ortogonal de \textcolor{Red}{F} sobre r} \
\small\mbox{e I o ponto de intersecção de r com AF.} 

\small\mbox{Cada um dos percursos A-C-B e A-F-B pode decompor-se em 3 partes:}
\ \small\mbox{AC, CG e GB, para o primeiro, e AI, IF e FB, para o segundo. }
\ \small \overline{AI}>\overline{AC} \small \mbox{ e }  \overline{FB}>\overline{GB} \mbox{, pois AI e FB são hipotenusas dos triângulos ACI e FGB}
\
\small \mbox{e AC e GB são catetos desses triângulos. Portanto, o nadador-salvador corre\mais depressa AC do que AI e nada mais depressa GB do que FB.\Falta ver que nada mais depressa CG do que corre IF.}

\definecolor{verde2}{rgb}{0,.8,0}
\small \mbox{Comecemos por comparar os tempos de  CG e HF.} \ \small \mbox{Os \textcolor{verde2}{\mbox{triângulos ADC e CHF}} são semelhantes, porque }A \hat {D} C=C\hat H F=90\degree \ \mbox{ e } D\hat A C = H \hat CF=\beta.
 \small\mbox{ Então, } \frac{\mbox{ }\overline {DC}\mbox{ }}{\overline {AC}}=\frac{\mbox{ }\overline {HF}\mbox{ }}{\overline {CF}}.

\small \mbox{Os \textcolor{verde2}{\mbox{triângulos CEB e CGF}} são semelhantes, porque } C \hat {E} B=C\hat G F=90\degree \mbox{ e } \ \small E\hat C B =F \hat CG.
 \small\mbox{ Então, } \frac{\mbox{ }\overline {CE}\mbox{ }}{\overline {BC}}=\frac{\mbox{ }\overline {CG}\mbox{ }}{\overline {CF}}.

\small \mbox{Face às igualdades anteriores, } \frac{\mbox{ }\overline {DC}\mbox{ }}{\overline {AC}}=\frac{\mbox{ }\overline {HF}\mbox{ }}{\overline {CF}} \mbox{ e } \frac{\mbox{ }\overline {CE}\mbox{ }}{\overline {BC}}=\frac{\mbox{ }\overline {CG}\mbox{ }}{\overline {CF}} \mbox{, a igualdade}
\ \small \frac{\;\;\frac{\mbox{ } \overline {DC}\mbox{ }}{\overline {AC}}\;\;}{\frac{\mbox{ }\overline{CE}\mbox{ }}{\overline{BC}}}=\frac{\mbox{vel corrida}}{\mbox{vel natação}}
\small \mbox{, que determinou o ponto \textcolor{purpura}{C}, pode escrever-se como} \
\small \frac{\mbox{ }\overline{HF}\mbox{ }}{\overline{CG}}=\frac{\mbox{vel corrida}}{\mbox{vel natação}} \mbox{ ou, equivalentemente, } \frac{\mbox{ }\overline{HF}\mbox{ }}{\mbox{vel corrida}}=\frac{\overline{CG}}{\mbox{vel natação}}.
\
\small \mbox{Assim, o nadador-salvador demora o mesmo tempo a correr HF e a nadar CG}.

\small \mbox{Mas }\overline{IF}>\overline{HF} \small \mbox{, pois IF é hipotenusa do triângulo IHF e HF é um cateto, }\ \small \mbox{portanto, o nadador-salvador corre mais depressa HF do que IF.}
\ \small\mbox{Vimos que os tempos de corrida de HF e de natação de CG são iguais,\logo o nadador-salvador demora mais tempo a correr IF do que a nadar CG,}
\ \small  \mbox{que era o que faltava provar (ver ponto 5).}
\
\small \mbox{Concluímos que se \textcolor{Red}{F} é um ponto do segmento CE (distinto de \textcolor{purpura}{C}) o nadador-}
\ \small \mbox{-salvador demora mais tempo a percorrer o trajecto A-F-B  do que o A-C-B. }

\textcolor{Red}{\mbox{F}}

\small \mbox{Suponhamos, agora, que \textcolor{Red}{F} está no segmento de recta DC.}
\ \small \mbox{Sejam J a projecção ortogonal de \textcolor{Red}{F} sobre o segmento de recta AC,}

\ \small \mbox{s a perpendicular a BC por \textcolor{purpura}{C}, K a projecção ortogonal de \textcolor{Red}{F} sobre s} \
\small\mbox{e L o ponto de intersecção de s com BF.} 

\small \mbox{Com argumentos semelhantes aos usados anteriormente, pode-se provar}
\
\small \mbox{que o nadador-salvador demora mais tempo a correr AF do que AJ, demora}
\ \small \mbox{o mesmo tempo a nadar FK e a correr JC, logo demora mais tempo a nadar}
\ \small \mbox{FL do que a correr JC e demora mais tempo a nadar LB do que CB. \
Deixam-se os detalhes ao cuidado do leitor.}

\mbox{r}

\definecolor{laranja}{rgb}{1,0.6,0}  \definecolor{azul}{rgb}{0,0.6,0.8}  \large\textbf{Mova \textcolor{laranja}{A} ou \textcolor{azul}{B}. Para cada escolha, \definecolor{purpura}{rgb}{0.5,0,0.5}\textcolor{purpura}{C} é o ponto que torna mínimo o tempo do percurso A-C-B.}\
\mbox{ }\ \mbox{Vamos indicar uma condição que determina \textcolor{purpura}{C} e dar uma justificação geométrica.}

Avançar

i = 0 (slider from 0 to 11, step 1)
vel_{corrida} = 4 (slider from 1 to 10, step 0.1)
vel_{natação} = 2.5 (slider from 1 to 10, step 0.1)
f(y) = y > 0.01
A = PointIn(f)
D: (x(A), 0)
e(y) = y < -0.01
B = PointIn(e)
C_2 = Extremum(((x(B) - x(A) - x)^(2) + y(B)^(2))^(0.5) / vel_{natação} + (x^(2) + y(A)^(2))^(0.5) / vel_{corrida}, -100, 100)
C: (x(A) + x(C_2), 0)
m = Segment(C, D)
E: (x(B), 0)
q = Segment(E, D)
b = Segment(A, B)
c = Segment(B, C)
d = Segment(C, A)
distânciaAB = Distance(A, B)
TextoAB: "\overline{" + (Name[A]) + (Name[B]) + "} \, = \, " + distânciaAB
distânciaAD = Distance(A, C)
TextoAD: "\overline{" + (Name[A]) + (Name[C]) + "} \, = \, " + distânciaAD
distânciaDB = Distance(C, B)
TextoDB: "\overline{" + (Name[C]) + (Name[B]) + "} \, = \, " + distânciaDB
E_2 = Intersect(a, b)
dist: distânciaAD + distânciaDB
distânciaAE = Distance(A, E_2)
TextoAE: "\overline{" + (Name[A]) + (Name[E_2]) + "} \, = \, " + distânciaAE
distânciaEB = Distance(E_2, B)
TextoEB: "\overline{" + (Name[E_2]) + (Name[B]) + "} \, = \, " + distânciaEB
tempmin: distânciaDB / vel_{natação} + distânciaAD / vel_{corrida}
tempo = If((y(A) * y(B)) < 0, distânciaEB / vel_{natação} + distânciaAE / vel_{corrida}, If[y(A) ≤ 0 ∧ y(B) ≤ 0, distânciaAB / vel_{natação}, distânciaAB / vel_{corrida}])
g = OrthogonalLine(C, a)
F_2 = Point(g)
G_2 = Point(g)
β = If(x(B) > x(A), Angle[F_2, C, A], Angle[A, C, F_2])
α = If(x(B) > x(A), Angle[G_2, C, B], Angle[B, C, G_2])
rvel: vel_{corrida} / vel_{natação}
rang: sin(β) / sin(α)
H_2 = Point(g)
h = Circle(C, H_2)
I_2 = Intersect(h, g, 2)
i_1 = Segment(H_2, I_2)
j = Segment(A, B)
texto7: "\small{\frac{\mbox{velocidade corrida}}{\mbox{velocidade natação}}}=" + (LaTeX[rvel]) + " "
n = Segment(E, B)
p = Segment(D, A)
F = Point(q)
k = Segment(A, F)
l = Segment(F, B)
r_1 = Segment(C, E)
D_1 = Point(r_1)
s_1 = Segment(A, D_1)
t = Segment(D_1, B)
a_1 = OrthogonalLine(D_1, c)
G = Intersect(a_1, c)
r = OrthogonalLine(C, d)
c_1 = OrthogonalLine(D_1, r)
H = Intersect(r, c_1)
I = Intersect(s_1, r)
polígono1, c_2, b_1, e_1 = Polygon(A, D, C)
polígono2, d_1, c_3, h_1 = Polygon(C, H, D_1)
polígono3, m_1, p_1, q_1 = Polygon(C, E, B)
polígono4, g_1, c_5, d_3 = Polygon(C, D_1, G)
J_1 = (9.11127596204854, 17.316482214911172)
f_1 = Segment(C, D)
H_1 = Point(f_1)
j_1 = Segment(A, H_1)
k_1 = Segment(H_1, B)
K_1 = Point(i_1)
l_1 = OrthogonalLine(H_1, d)
J = Intersect(l_1, d)
s = OrthogonalLine(C, c)
n_1 = OrthogonalLine(H_1, s)
K = Intersect(n_1, s)
L = Intersect(s, k_1)
I_1: (x(B) - 7, y(B) - 1)
L_1: (x(A) - 4, y(A) - 2)
N_1: (x(A) + 2.5, y(A))
P_1: (x(A) + 4, y(A) - 2)
O_1: (x(A) - 2.5, y(A))
γ = Angle(B, G, D_1)
Q_1 = Point(r)
R_1 = Point(c_1)
δ = Angle(Q_1, H, R_1)
ε = Angle(A, J, H_1)
ζ = Angle(L, K, H_1)
M_1: (x(B) - 0.7, y(B) - 1)
S_1 = Point(r)
texto8: "\small \frac{\;\;\frac{\mbox{ } \overline {DC}\mbox{ }}{\overline {AC}}\;\;}{\frac{\mbox{ }\overline{EC}\mbox{ }}{\overline{BC}}}=" + (LaTeX[rang]) + ""